\(\int \frac {\csc ^2(e+f x)}{(a+b \sec ^2(e+f x))^{3/2}} \, dx\) [116]

Optimal result

Integrand size = 25, antiderivative size = 68 \[ \int \frac {\csc ^2(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=-\frac {\cot (e+f x)}{(a+b) f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}-\frac {2 b \tan (e+f x)}{(a+b)^2 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}} \]

[Out]

-cot(f*x+e)/(a+b)/f/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)^(1/2)-2*b*tan(f*x+e)/(a+b)^2/f/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)^(1/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.10 (sec) , antiderivative size = 68, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 3, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.120, Rules used = {4217, 277, 197} \[ \int \frac {\csc ^2(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=-\frac {2 b \tan (e+f x)}{f (a+b)^2 \sqrt {a+b \tan ^2(e+f x)+b}}-\frac {\cot (e+f x)}{f (a+b) \sqrt {a+b \tan ^2(e+f x)+b}} \]

[In]

Int[Csc[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-(Cot[e + f*x]/((a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])) - (2*b*Tan[e + f*x])/((a + b)^2*f*Sqrt[a + b + b*Ta
n[e + f*x]^2])

Rule 197

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x*((a + b*x^n)^(p + 1)/a), x] /; FreeQ[{a, b, n, p}, x] &
& EqQ[1/n + p + 1, 0]

Rule 277

Int[(x_)^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*(m + 1))), x]
- Dist[b*((m + n*(p + 1) + 1)/(a*(m + 1))), Int[x^(m + n)*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x]
&& ILtQ[Simplify[(m + 1)/n + p + 1], 0] && NeQ[m, -1]

Rule 4217

Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_), x_Symbol] :> With[{ff = Fr
eeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[ff^(m + 1)/f, Subst[Int[x^m*(ExpandToSum[a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n/2), x]^p/(1
+ ff^2*x^2)^(m/2 + 1)), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[m/2] && Integer
Q[n/2]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\text {Subst}\left (\int \frac {1}{x^2 \left (a+b+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{f} \\ & = -\frac {\cot (e+f x)}{(a+b) f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}-\frac {(2 b) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{\left (a+b+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{(a+b) f} \\ & = -\frac {\cot (e+f x)}{(a+b) f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}-\frac {2 b \tan (e+f x)}{(a+b)^2 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 1.27 (sec) , antiderivative size = 76, normalized size of antiderivative = 1.12 \[ \int \frac {\csc ^2(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=-\frac {(a+2 b+a \cos (2 (e+f x))) (a+3 b+(a-b) \cos (2 (e+f x))) \csc (e+f x) \sec ^3(e+f x)}{4 (a+b)^2 f \left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \]

[In]

Integrate[Csc[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-1/4*((a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x)])*(a + 3*b + (a - b)*Cos[2*(e + f*x)])*Csc[e + f*x]*Sec[e + f*x]^3)/((a + b
)^2*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2))

Maple [A] (verified)

Time = 3.99 (sec) , antiderivative size = 84, normalized size of antiderivative = 1.24

method	result	size
default	\(-\frac {\left (b +a \cos \left (f x +e \right )^{2}\right ) \left (a \cos \left (f x +e \right )^{2}-\cos \left (f x +e \right )^{2} b +2 b \right ) \sec \left (f x +e \right )^{3} \csc \left (f x +e \right )}{f \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right ) \left (a +b \sec \left (f x +e \right )^{2}\right )^{\frac {3}{2}}}\)	\(84\)

[In]

int(csc(f*x+e)^2/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

-1/f/(a^2+2*a*b+b^2)*(b+a*cos(f*x+e)^2)*(a*cos(f*x+e)^2-cos(f*x+e)^2*b+2*b)/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2)*sec(f*x+e
)^3*csc(f*x+e)

Fricas [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.34 (sec) , antiderivative size = 102, normalized size of antiderivative = 1.50 \[ \int \frac {\csc ^2(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=-\frac {{\left ({\left (a - b\right )} \cos \left (f x + e\right )^{3} + 2 \, b \cos \left (f x + e\right )\right )} \sqrt {\frac {a \cos \left (f x + e\right )^{2} + b}{\cos \left (f x + e\right )^{2}}}}{{\left ({\left (a^{3} + 2 \, a^{2} b + a b^{2}\right )} f \cos \left (f x + e\right )^{2} + {\left (a^{2} b + 2 \, a b^{2} + b^{3}\right )} f\right )} \sin \left (f x + e\right )} \]

[In]

integrate(csc(f*x+e)^2/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

-((a - b)*cos(f*x + e)^3 + 2*b*cos(f*x + e))*sqrt((a*cos(f*x + e)^2 + b)/cos(f*x + e)^2)/(((a^3 + 2*a^2*b + a*
b^2)*f*cos(f*x + e)^2 + (a^2*b + 2*a*b^2 + b^3)*f)*sin(f*x + e))

Sympy [F]

\[ \int \frac {\csc ^2(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=\int \frac {\csc ^{2}{\left (e + f x \right )}}{\left (a + b \sec ^{2}{\left (e + f x \right )}\right )^{\frac {3}{2}}}\, dx \]

[In]

integrate(csc(f*x+e)**2/(a+b*sec(f*x+e)**2)**(3/2),x)

[Out]

Integral(csc(e + f*x)**2/(a + b*sec(e + f*x)**2)**(3/2), x)

Maxima [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.21 (sec) , antiderivative size = 64, normalized size of antiderivative = 0.94 \[ \int \frac {\csc ^2(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=-\frac {\frac {2 \, b \tan \left (f x + e\right )}{\sqrt {b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a + b} {\left (a + b\right )}^{2}} + \frac {1}{\sqrt {b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a + b} {\left (a + b\right )} \tan \left (f x + e\right )}}{f} \]

[In]

integrate(csc(f*x+e)^2/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

-(2*b*tan(f*x + e)/(sqrt(b*tan(f*x + e)^2 + a + b)*(a + b)^2) + 1/(sqrt(b*tan(f*x + e)^2 + a + b)*(a + b)*tan(
f*x + e)))/f

Giac [F]

\[ \int \frac {\csc ^2(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=\int { \frac {\csc \left (f x + e\right )^{2}}{{\left (b \sec \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac {3}{2}}} \,d x } \]

[In]

integrate(csc(f*x+e)^2/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

sage0*x

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 26.10 (sec) , antiderivative size = 2151, normalized size of antiderivative = 31.63 \[ \int \frac {\csc ^2(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int(1/(sin(e + f*x)^2*(a + b/cos(e + f*x)^2)^(3/2)),x)

[Out]

-((a + b/(exp(- e*1i - f*x*1i)/2 + exp(e*1i + f*x*1i)/2)^2)^(1/2)*(2*exp(e*2i + f*x*2i) + exp(e*4i + f*x*4i) +
1)*(exp(e*4i + f*x*4i)*(((a + 4*b)*(((a + 4*b)*((((a^2*(a + 3*b)*(a*(a - b) - (a + 3*b)^2))/(a*b + a^2) + (a*
(a + 3*b)^2*(a*(a + 3*b) - a*(a + 4*b)))/(a*b + a^2))*1i)/(8*f*(a*b^2 + a^2*b)*(a + 3*b)) - (a^3*(a + 3*b)*3i)
/(8*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2*b)) + (a^2*(a + 3*b)*(a + 4*b)*1i)/(8*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2*b))))/a - (((a
+ 3*b)^3 - ((a + 3*b)*(a*(a - b) - (a + 3*b)^2)*(a*(a + 3*b) - a*(a + 4*b)))/(a*b + a^2))*1i)/(8*f*(a*b^2 + a
^2*b)*(a + 3*b)) - (((a^2*(a + 3*b)*(a*(a - b) - (a + 3*b)^2))/(a*b + a^2) + (a*(a + 3*b)^2*(a*(a + 3*b) - a*(
a + 4*b)))/(a*b + a^2))*3i)/(8*f*(a*b^2 + a^2*b)*(a + 3*b)) + (a^3*(a + 3*b)*3i)/(8*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2
*b)) + (a^2*(a + 3*b)*(a + 4*b)*1i)/(8*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2*b))))/a + ((a + 4*b)*((((a^2*(a + 3*b)*(a*(a
- b) - (a + 3*b)^2))/(a*b + a^2) + (a*(a + 3*b)^2*(a*(a + 3*b) - a*(a + 4*b)))/(a*b + a^2))*1i)/(8*f*(a*b^2 +
a^2*b)*(a + 3*b)) - (a^3*(a + 3*b)*3i)/(8*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2*b)) + (a^2*(a + 3*b)*(a + 4*b)*1i)/(8*f*
(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2*b))))/a + (((a + 3*b)^3 - ((a + 3*b)*(a*(a - b) - (a + 3*b)^2)*(a*(a + 3*b) - a*(a +
4*b)))/(a*b + a^2))*3i)/(8*f*(a*b^2 + a^2*b)*(a + 3*b)) + (((a^2*(a + 3*b)*(a*(a - b) - (a + 3*b)^2))/(a*b + a
^2) + (a*(a + 3*b)^2*(a*(a + 3*b) - a*(a + 4*b)))/(a*b + a^2))*3i)/(8*f*(a*b^2 + a^2*b)*(a + 3*b)) - (a^3*(a +
3*b)*1i)/(4*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2*b))) + exp(e*2i + f*x*2i)*((((a + 3*b)^3 - ((a + 3*b)*(a*(a - b) - (a
+ 3*b)^2)*(a*(a + 3*b) - a*(a + 4*b)))/(a*b + a^2))*3i)/(8*f*(a*b^2 + a^2*b)*(a + 3*b)) - ((a + 4*b)*(((a + 4*
b)*((((a^2*(a + 3*b)*(a*(a - b) - (a + 3*b)^2))/(a*b + a^2) + (a*(a + 3*b)^2*(a*(a + 3*b) - a*(a + 4*b)))/(a*b
+ a^2))*1i)/(8*f*(a*b^2 + a^2*b)*(a + 3*b)) - (a^3*(a + 3*b)*3i)/(8*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2*b)) + (a^2*(a
+ 3*b)*(a + 4*b)*1i)/(8*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2*b))))/a - (((a + 3*b)^3 - ((a + 3*b)*(a*(a - b) - (a + 3*b)
^2)*(a*(a + 3*b) - a*(a + 4*b)))/(a*b + a^2))*1i)/(8*f*(a*b^2 + a^2*b)*(a + 3*b)) - (((a^2*(a + 3*b)*(a*(a - b
) - (a + 3*b)^2))/(a*b + a^2) + (a*(a + 3*b)^2*(a*(a + 3*b) - a*(a + 4*b)))/(a*b + a^2))*3i)/(8*f*(a*b^2 + a^2
*b)*(a + 3*b)) + (a^3*(a + 3*b)*3i)/(8*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2*b)) + (a^2*(a + 3*b)*(a + 4*b)*1i)/(8*f*(a*b
+ a^2)*(a*b^2 + a^2*b))))/a + (((a^2*(a + 3*b)*(a*(a - b) - (a + 3*b)^2))/(a*b + a^2) + (a*(a + 3*b)^2*(a*(a
+ 3*b) - a*(a + 4*b)))/(a*b + a^2))*1i)/(4*f*(a*b^2 + a^2*b)*(a + 3*b)) - (a^3*(a + 3*b)*3i)/(8*f*(a*b + a^2)*
(a*b^2 + a^2*b)) + (a^2*(a + 3*b)*(a + 4*b)*1i)/(8*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2*b))) - ((a + 4*b)*((((a^2*(a + 3
*b)*(a*(a - b) - (a + 3*b)^2))/(a*b + a^2) + (a*(a + 3*b)^2*(a*(a + 3*b) - a*(a + 4*b)))/(a*b + a^2))*1i)/(8*f
*(a*b^2 + a^2*b)*(a + 3*b)) - (a^3*(a + 3*b)*3i)/(8*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2*b)) + (a^2*(a + 3*b)*(a + 4*b)*
1i)/(8*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2*b))))/a + (((a + 3*b)^3 - ((a + 3*b)*(a*(a - b) - (a + 3*b)^2)*(a*(a + 3*b)
- a*(a + 4*b)))/(a*b + a^2))*1i)/(4*f*(a*b^2 + a^2*b)*(a + 3*b)) + (((a^2*(a + 3*b)*(a*(a - b) - (a + 3*b)^2))
/(a*b + a^2) + (a*(a + 3*b)^2*(a*(a + 3*b) - a*(a + 4*b)))/(a*b + a^2))*3i)/(8*f*(a*b^2 + a^2*b)*(a + 3*b)) -
(a^3*(a + 3*b)*3i)/(8*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 + a^2*b)) - (a^2*(a + 3*b)*(a + 4*b)*1i)/(8*f*(a*b + a^2)*(a*b^2 +
a^2*b))))/((exp(e*2i + f*x*2i) + 1)*(a - a*exp(e*6i + f*x*6i) + exp(e*2i + f*x*2i)*(a + 4*b) - exp(e*4i + f*x*
4i)*(a + 4*b)))